На столе лежит некоторое количество карточек, часть из которых синего цвета, а остальные красного (есть хотя бы по одной карточке каждого цвета). На каждой карточке написано целое число. На карточках синего цвета написаны различные числа, делящиеся на 3, а на карточках красного цвета написаны различные чётные числа (при этом некоторые числа могут быть написаны дважды: один раз на синей карточке и один раз на красной карточке). Все числа на карточках больше
Оказалось, что наибольшее число, написанное на красной карточке, равно удвоенному количеству синих карточек, а наибольшее число, написанное на синей карточке, равно количеству красных карточек.
а) Может ли на столе лежать ровно три красных карточки?
б) Может ли на столе лежать ровно 150 красных карточек?
в) Какое наибольшее количество красных карточек может лежать на столе?
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 4 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
Обозначим количество красных карточек через r, синих — через b. Тогда наибольшие числа на них равны соответственно 2b и r. Число r делится на 3, поскольку написано на синей карточке.
а) Возьмём одну синюю карточку с числом 3 и три красные с числами −2, 0, 2.
Все числа больше −60, требования делимости и различия чисел внутри каждого цвета выполнены. Максимум на красных карточках равен 2 = 2b, на синих — 3 = r. Ответ: да.
б) Красные карточки могут содержать только чётные числа от −58 до 2b. Таких чисел (2b + 58)/2 + 1 = b + 30, поэтому r ≤ b + 30.
Синие карточки могут содержать только числа, кратные 3, от −57 до r. Таких чисел (r + 57)/3 + 1 = r/3 + 20, поэтому b ≤ r/3 + 20.
Если r = 150, первое неравенство даёт b ≥ 120, а второе — b ≤ 70. Получено противоречие. Ответ: нет.
в) Объединяя полученные оценки, имеем r ≤ b + 30 ≤ r/3 + 50. Следовательно, 2r/3 ≤ 50, то есть r ≤ 75.
Покажем, что 75 красных карточек возможны. На синих запишем все кратные 3 числа от −57 до 75 включительно, а на красных — все чётные числа от −58 до 90 включительно.
Синих карточек будет (75 + 57)/3 + 1 = 45, красных — (90 + 58)/2 + 1 = 75.
Максимум на красных равен 90 = 2 · 45, а на синих — 75, то есть количеству красных. Все остальные условия также выполнены, поэтому оценка достигается. Ответ: 75.