На доске написано несколько различных натуральных чисел, в записи которых могут быть только цифры 4 и 9 (возможно, только одна из этих цифр).
а) Может ли сумма этих чисел быть равна 107?
б) Может ли сумма этих чисел быть равна 289?
в) Какое наименьшее количество чисел может быть на доске, если их сумма равна 3986?
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 4 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Подходит набор различных натуральных чисел 4, 9, 44, 49: в их записи используются только разрешённые цифры.
Их сумма равна 4 + 9 + 44 + 49 = 106. Этот набор не подходит, но подходит набор 9, 49, 49 лишь при повторении числа, которое запрещено. Поэтому проверим все возможности систематически.
Все разрешённые числа при делении на 5 дают остаток 4. Если их количество равно k, то сумма даёт тот же остаток, что и 4k.
Для суммы 107 получаем: 4k имеет остаток 2 при делении на 5, значит, k имеет остаток 3. Числа, не превосходящие 107: 4, 9, 44, 49, 94, 99. Поэтому k = 3.
Если взять 94 или 99, то на два других числа останется соответственно 13 или 8. Первый случай возможен: 4 + 9 = 13.
Таким образом, 4 + 9 + 94 = 107.
Ответ: да.
б) Если сумма равна 289, каждое слагаемое меньше 444, поэтому можно использовать только числа 4, 9, 44, 49, 94, 99.
Поскольку 289 даёт остаток 4 при делении на 5, количество слагаемых k даёт остаток 1. При 1 ≤ k ≤ 6 возможны лишь k = 1 и k = 6.
Одно число не подходит: в записи 289 есть запрещённые цифры. При шести слагаемых придётся взять все перечисленные числа, но их сумма равна 299.
Ответ: нет.
в) Сумма 3986 даёт остаток 1 при делении на 5, поэтому 4k даёт остаток 1, то есть k даёт остаток 4.
Следовательно, если чисел меньше девяти, их должно быть ровно четыре.
Каждое слагаемое не превосходит 3986. Наименьшее разрешённое четырёхзначное число — 4444, поэтому все слагаемые имеют не более трёх цифр.
Четыре наибольших различных разрешённых числа — 999, 994, 949, 944. Их сумма равна 3886 < 3986. Значит, четырёх чисел недостаточно и требуется не менее девяти.
Пример из девяти различных чисел: 4 + 9 + 94 + 99 + 444 + 449 + 944 + 949 + 994 = 3986.
Оценка достигнута, поэтому наименьшее количество чисел равно 9.
Ответ: 9.