В школах 1 и 2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали
по крайней мере 2 учащихся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест был целым числом, причём в школе 1 средний балл равнялся 18.
Один из учащихся, писавших тест, перешёл из школы 1 в школу 2,
а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах. В результате средний балл в школе 1 вырос на 10%, средний балл в школе 2 также вырос на 10%.
а) Сколько учащихся могло писать тест в школе 1 изначально?
б) В школе 1 все писавшие тест набрали разное количество баллов. Какое наибольшее количество баллов мог набрать учащийся этой школы?
в) Известно, что изначально в школе 2 писали тест более 10 учащихся. Какое наименьшее количество учащихся могло писать тест в школе 2 изначально?
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 4 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Пусть первоначально в первой школе было n участников, а перешедший ученик набрал x баллов. После его ухода средний балл стал 18·1,1 = 19,8.
Поэтому 18n − x = 19,8(n − 1), откуда 5x = 99 − 9n. Правая часть делится на 5, значит, n − 1 делится на 5.
Так как x ≥ 1, получаем 99 − 9n ≥ 5, то есть n ≤ 10. Вместе с n ≥ 2 и делимостью n − 1 на 5 это даёт n = 6 и x = 9.
Пример: в первой школе баллы 9, 19, 20, 20, 20, 20, во второй — 3, 3, 3, 3. После перехода ученика с 9 баллами средние возрастают с 18 до 19,8 и с 3 до 3,3 соответственно.
Ответ: 6.
б) По пункту а) первоначально было 6 участников, один из которых набрал 9 баллов. Сумма баллов остальных пяти равна 18·6 − 9 = 99.
Пусть M — наибольший балл среди этих пяти. Остальные четыре балла — различные натуральные числа, поэтому их сумма не меньше 1 + 2 + 3 + 4 = 10. Следовательно, M ≤ 99 − 10 = 89.
Оценка достигается на наборе 1, 2, 3, 4, 9, 89. Все баллы различны, их сумма равна 108; после ухода ученика с 9 баллами средний равен 99/5 = 19,8. Для второй школы подходит пример из пункта а).
Ответ: 89.
в) Пусть во второй школе первоначально было m участников, а их средний балл равнялся натуральному числу k. Перешедший ученик принёс 9 баллов.
Тогда km + 9 = 1,1k(m + 1), откуда 90 = k(m + 11). Значит, m + 11 — делитель 90.
По условию m > 10, поэтому m + 11 ≥ 22. Делители 90: 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90. Наименьший подходящий делитель — 30, следовательно, m ≥ 19.
При m = 19 получаем k = 3. Если все 19 учеников второй школы набрали по 3 балла, то после прихода ученика с 9 баллами средний станет (57 + 9)/20 = 3,3. Для первой школы подходит пример из пункта а).
Ответ: 19.