В порту имеются только заполненные контейнеры, масса каждого из которых равна 20 тонн или 60 тонн. В некоторых из этих контейнеров находится сахарный песок. Количество контейнеров с сахарным песком составляет 25 % от общего количества контейнеров.
а) Может ли масса контейнеров с сахарным песком составить 20 % от общей массы всех контейнеров?
б) Может ли масса контейнеров с сахарным песком составить 60 % от общей массы всех контейнеров?
в) Какую наименьшую долю (в процентах) может составить масса контейнеров с сахарным песком от общей массы всех контейнеров?
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 4 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
Пусть контейнеров с сахаром k, тогда остальных контейнеров 3k, где k — натуральное число. Обозначим их суммарные массы через S и R соответственно. Искомая доля равна S/(S + R).
а) Возьмём восемь контейнеров: семь массой 20 тонн и один массой 60 тонн. Сахар находится в двух контейнерах по 20 тонн.
Количество контейнеров с сахаром составляет 2/8 = 25 %, а их масса — 40 тонн. Общая масса равна 7 · 20 + 60 = 200 тонн.
Доля массы контейнеров с сахаром равна 40/200 = 20 %.
Ответ: да.
б) Каждый контейнер с сахаром имеет массу не более 60 тонн, поэтому S ≤ 60k. Остальные 3k контейнеров весят не менее R ≥ 3k · 20 = 60k тонн.
Следовательно, S ≤ R, поэтому S/(S + R) ≤ 1/2 = 50 %. Значение 60 % невозможно.
Ответ: нет.
в) Контейнеры с сахаром весят не менее S ≥ 20k тонн, а остальные — не более R ≤ 3k · 60 = 180k тонн.
Отсюда R ≤ 180k ≤ 9S, значит, S + R ≤ 10S. Поэтому S/(S + R) ≥ 1/10 = 10 %.
Эта оценка достигается, если взять один контейнер с сахаром массой 20 тонн и три остальных контейнера массой по 60 тонн.
Тогда сахар находится в 25 % контейнеров, а доля их массы равна 20/(20 + 3 · 60) = 1/10 = 10 %.
Ответ: 10 %.