На доске было написано несколько различных натуральных чисел. Эти числа разбили на три группы, в каждой из которых оказалось хотя бы одно число.
К каждому числу из первой группы приписали справа цифру 3, к каждому числу из второй группы цифру 7, а числа из третьей группы оставили без изменений.
а) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 8 раз?
б) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 17 раз?
в) В какое наибольшее число раз могла увеличиться сумма всех этих чисел?
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 4 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
Обозначим исходную сумму через S, новую — через T. Приписывание цифры 3 превращает число n в 10n + 3, а цифры 7 — в 10n + 7.
а) Возьмём числа 1, 8, 4 и поместим их соответственно в первую, вторую и третью группы.
Тогда S = 1 + 8 + 4 = 13, T = 13 + 87 + 4 = 104 = 8 · 13.
Все числа различны, каждая группа непуста. Ответ: да.
б) Для любого натурального n выполнены неравенства 10n + 3 < 17n и 10n + 7 ≤ 17n.
Числа третьей группы также удовлетворяют n < 17n. Складывая эти неравенства, получаем T < 17S.
Ответ: нет.
в) Пусть в первых двух группах вместе m чисел, из них k — в первой группе; C — сумма чисел третьей группы. Тогда m ≥ 2, k ≥ 1, C ≥ 1.
Имеем T = 10(S − C) + 3k + 7(m − k) + C, поэтому T − 10S = 7m − 4k − 9C ≤ 7m − 13.
Всего записано не менее m + 1 различных натуральных чисел, следовательно, S ≥ 1 + 2 + … + (m + 1) = (m + 1)(m + 2)/2.
Для целого m ≥ 2 справедливо (m − 5)(11m − 59) ≥ 0: при m ≤ 5 оба множителя неположительны, при m ≥ 6 оба положительны.
Раскрывая скобки, получаем 147m − 273 ≤ 11(m + 1)(m + 2).
Значит, 21(T − 10S) ≤ 147m − 273 ≤ 11(m + 1)(m + 2) ≤ 22S.
Отсюда 21T ≤ 232S, то есть T/S ≤ 232/21.
Оценка достигается: первая группа — {2}, вторая — {3, 4, 5, 6}, третья — {1}.
Тогда S = 21, T = 23 + 37 + 47 + 57 + 67 + 1 = 232.
Ответ: 232/21.