Решите неравенство .
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 2 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) ОДЗ и равносильные преобразования.
Аргументы логарифмов должны быть положительными: 4 − x > 0 и (x − 4)² > 0.
Следовательно, ОДЗ: x < 4.
На ОДЗ (x − 4)² = (4 − x)², поэтому log₂((4 − x)²) = 2log₂(4 − x).
Так как 512 = 2⁹, то log₅₁₂(4 − x) = log₂(4 − x)/9.
Умножая неравенство на положительное число 9 и перенося всё влево, получаем равносильное неравенство:
(x² − 18)log₂(4 − x) ≥ 0.
б) Метод интервалов.
Первый множитель равен нулю при x = ±3√2; точка 3√2 > 4 не входит в ОДЗ.
Второй множитель равен нулю при 4 − x = 1, то есть при x = 3.
При x < −3√2 оба множителя положительны, поэтому произведение положительно.
При −3√2 < x < 3 первый множитель отрицателен, второй положителен: произведение отрицательно.
При 3 < x < 4 оба множителя отрицательны: произведение положительно.
в) Граничные точки и ответ.
Точки −3√2 и 3 входят в ОДЗ и обращают произведение в нуль, поэтому включаются.
Точка 4 не входит в ОДЗ и исключается.
Ответ: (−∞; −3√2] ∪ [3; 4).