Решите неравенство .
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 2 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) ОДЗ и замена переменной.
Знаменатели не должны обращаться в нуль: 3ˣ ≠ 81 и 3ˣ ≠ 9, то есть x ≠ 4 и x ≠ 2.
Введём t = 3ˣ. Тогда t > 0, t ≠ 9, t ≠ 81.
б) Равносильные преобразования.
Перенесём правую часть влево и приведём дроби к общему знаменателю:
13/(t − 81) − 1/(t − 9) ≤ 0;
(13(t − 9) − (t − 81))/((t − 81)(t − 9)) ≤ 0;
12(t − 3)/((t − 81)(t − 9)) ≤ 0.
Деление на положительное число 12 даёт (t − 3)/((t − 81)(t − 9)) ≤ 0.
в) Метод интервалов и возвращение к x.
На положительной полуоси критические точки: 3, 9 и 81.
Знаки дроби на промежутках (0; 3), (3; 9), (9; 81), (81; +∞) соответственно: −, +, −, +.
Точка 3 включается как нуль числителя; точки 9 и 81 исключаются как нули знаменателя. Значение t = 0 невозможно.
Следовательно, t ∈ (0; 3] ∪ (9; 81).
Поскольку функция 3ˣ возрастает, условие 0 < 3ˣ ≤ 3 равносильно x ≤ 1, а условие 9 < 3ˣ < 81 равносильно 2 < x < 4.
Ответ: (−∞; 1] ∪ (2; 4).