В правильной четырёхугольной пирамиде с основанием точка центр основания пирамиды, точка середина ребра точка делит ребро в отношении а и
а) Докажите, что плоскость параллельна прямой
б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость пересекает грань
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 3 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Доказательство. Центр квадрата O является серединой диагонали AC, а M — середина SC. Поэтому OM — средняя линия треугольника CSA, следовательно, OM ∥ SA.
Плоскости OMK и SAC различны: точка K лежит на BC и не лежит на AC, по которой плоскость SAC пересекает основание. Их общая прямая — OM.
Если бы SA пересекала плоскость OMK, точка пересечения принадлежала бы OM. Это невозможно, поскольку SA и OM — различные параллельные прямые.
Таким образом, SA параллельна плоскости OMK по признаку параллельности прямой и плоскости. Ответ: утверждение доказано.
б) Нахождение длины отрезка. Из BK : KC = 3 : 1 и BC = 2 получаем BK = 3/2 и KC = 1/2. Обозначим через L точку на AD, для которой AL = 1/2. Тогда DL = 3/2.
Докажем, что L, O и K лежат на одной прямой. Углы OAL и OCK равны 45°, так как диагональ квадрата делит его углы пополам. Кроме того, AO = CO и AL = CK. Следовательно, треугольники OAL и OCK равны по двум сторонам и углу между ними.
Поэтому ∠AOL = ∠COK. Поскольку OA и OC — противоположные лучи, а L и K лежат по разные стороны от AC, лучи OL и OK также противоположны. Значит, L лежит на прямой OK и принадлежит плоскости OMK.
В треугольнике DSA проведём через L прямую LN ∥ AS, где N лежит на DS. Так как LN ∥ OM, а L принадлежит плоскости OMK, вся прямая LN лежит в этой плоскости. Следовательно, отрезок LN является её пересечением с гранью SAD.
Треугольники DLN и DAS подобны по двум углам, поэтому LN/AS = DL/DA = (3/2)/2 = 3/4.
В квадрате AO = AC/2 = √2. Из прямоугольного треугольника SOA получаем AS = √(SO² + AO²) = √(14 + 2) = 4.
Следовательно, LN = 3AS/4 = 3. Ответ: 3.