В правильном тетраэдре точки и середины рёбер и соответственно. Плоскость перпендикулярна прямой и пересекает ребро в точке
а) Докажите, что прямая перпендикулярна рёбрам и
б) Найдите площадь сечения тетраэдра плоскостью если известно, что
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 3 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Все рёбра правильного тетраэдра равны. В равнобедренных треугольниках ACB и ADB медианы CM и DM являются высотами, поэтому CM ⟂ AB и DM ⟂ AB.
Прямые CM и DM пересекаются в M и лежат в плоскости CMD. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости AB ⟂ (CMD). Прямая MN лежит в этой плоскости и проходит через M, следовательно, AB ⟂ MN.
Аналогично в равнобедренных треугольниках CAD и CBD медианы AN и BN перпендикулярны CD. Поэтому CD ⟂ (ANB).
Прямая MN лежит в плоскости ANB и проходит через N, значит, CD ⟂ MN.
Ответ: MN ⟂ AB и MN ⟂ CD.
б) Длина ребра тетраэдра BC = BK + KC = 4. Через K в грани ABC проведём KP ∥ AB, где P ∈ AC, а в грани BCD — KR ∥ CD, где R ∈ BD.
Из подобия треугольников CKP и CBA получаем CP/CA = CK/CB = 3/4 и KP = (3/4)AB = 3.
Из подобия треугольников BKR и BCD получаем BR/BD = BK/BC = 1/4 и KR = (1/4)CD = 1.
Выберем Q ∈ AD так, чтобы AQ/AD = 1/4. Поскольку AP/AC = BR/BD = 1/4, по обратной теореме Фалеса PQ ∥ CD и RQ ∥ AB. При этом PQ = (1/4)CD = 1, RQ = (3/4)AB = 3.
Таким образом, K P Q R — параллелограмм. Его пересекающиеся стороны KP и KR перпендикулярны MN по пункту а), поэтому плоскость этого параллелограмма перпендикулярна MN.
Через K проходит единственная плоскость, перпендикулярная MN. Следовательно, построенный параллелограмм лежит в α и является сечением тетраэдра: его стороны проходят по четырём граням.
Из доказанного в пункте а) AB ⟂ (CMD), поэтому направления AB и CD перпендикулярны. Так как KP ∥ AB и KR ∥ CD, угол PKR прямой. Значит, сечение — прямоугольник.
Его площадь S = KP · KR = 3 · 1 = 3.
Ответ: 3.