Сечением прямоугольного параллелепипеда плоскостью , содержащей прямую и параллельной прямой , является ромб.
а) Докажите, что грань квадрат.
б) Найдите угол между плоскостями и , если , .
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 3 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Введём прямоугольную систему координат: A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), D(0; b; 0), A₁(0; 0; h), где a, b, h > 0. Тогда C(a; b; 0), D₁(0; b; h).
Плоскость α имеет уравнение x/a − y/b + 2z/h = 1. Действительно, координаты B и D₁ удовлетворяют этому уравнению, а вектор AC с координатами (a; b; 0) перпендикулярен нормали (1/a; −1/b; 2/h). Следовательно, эта плоскость содержит BD₁ и параллельна AC.
На ребре AA₁ имеем x = y = 0, поэтому z = h/2. На ребре CC₁ имеем x = a, y = b, откуда также z = h/2. Обозначим полученные точки через M и K.
На нижнем основании уравнение сечения имеет вид x/a − y/b = 1 и в пределах прямоугольника выполняется только в B; на верхнем основании — только в D₁. Таким образом, сечение — четырёхугольник MBKD₁.
По формуле расстояния между точками MB² = a² + h²/4, BK² = b² + h²/4.
Поскольку сечение является ромбом, MB = BK. Значит, a² = b² и a = b. Прямоугольник ABCD с равными соседними сторонами — квадрат.
Ответ: грань ABCD — квадрат.
б) По условию a = 4, h = 6, а по доказанному b = 4. Поэтому уравнение α принимает вид x/4 − y/4 + z/3 = 1, или 3x − 3y + 4z = 12.
Нормальный вектор плоскости α: n = (3; −3; 4). Грань BCC₁ лежит в плоскости x = 4, нормальный вектор которой m = (1; 0; 0).
Угол φ между плоскостями равен острому углу между их нормалями. По формуле скалярного произведения cos φ = |n · m|/(|n| · |m|).
Получаем n · m = 3, |n| = √(9 + 9 + 16) = √34, |m| = 1. Следовательно, cos φ = 3/√34.
Ответ: arccos(3/√34).