На рёбрах и треугольной пирамиды отмечены точки и соответственно, причём . Точки и середины рёбер и соответственно.
а) Докажите, что точки , , и лежат в одной плоскости.
б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость разбивает пирамиду.
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 3 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Из условия BM/BA = BN/BC = 2/3. По обратной теореме Фалеса в треугольнике ABC получаем MN ∥ AC.
В треугольнике ADC отрезок PQ соединяет середины двух сторон, поэтому PQ ∥ AC.
Следовательно, MN ∥ PQ. Через две различные параллельные прямые проходит единственная плоскость, поэтому точки M, N, P и Q лежат в одной плоскости.
Ответ: точки P, Q, M и N компланарны.
б) Обозначим объём ABCD через V. Сечение MNPQ отсекает многогранник ACMNPQ, содержащий ребро AC. Плоскость CMP отделяет от него тетраэдр ACMP, а оставшуюся часть плоскость CNP делит на тетраэдры CMNP и CNPQ.
Треугольники ACM и ACB имеют общую высоту из C к AB, поэтому S(ACM)/S(ACB) = AM/AB = 1/3. Высота из P к плоскости ABC вдвое меньше высоты из D, так как P — середина AD. По формуле объёма пирамиды V(ACMP) = V · (1/3) · (1/2) = V/6.
Треугольники BMN и BAC подобны с коэффициентом 2/3, поэтому S(BMN)/S(BAC) = 4/9.
У треугольников CMN и BMN основания CN и BN лежат на одной прямой, а высота из M общая. Значит, S(CMN)/S(BMN) = CN/BN = 1/2, откуда S(CMN)/S(ABC) = 2/9.
Высота из P к ABC равна половине высоты пирамиды, поэтому V(CMNP) = V · (2/9) · (1/2) = V/9.
В треугольнике ACD имеем CQ/CD = 1/2, а высота из P к CD вдвое меньше высоты из A. Следовательно, S(CPQ)/S(ACD) = 1/4.
Поскольку CN/CB = 1/3 и C лежит в плоскости ACD, расстояние от N до этой плоскости равно трети расстояния от B. Поэтому V(CNPQ) = V · (1/4) · (1/3) = V/12.
Таким образом, V(ACMNPQ) = V/6 + V/9 + V/12 = 13V/36. Объём второй части равен V − 13V/36 = 23V/36.
Ответ: 13 : 23.