В правильной четырёхугольной пирамиде через ребро провели плоскость , образующую сечение где точки и точки пересечения плоскости с боковыми рёбрами и соответственно. Известно, что
а) Докажите, что точки и делят рёбра и в отношении считая от вершины
б) Найдите косинус угла между плоскостью основания и плоскостью
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 3 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Обозначим AB = a. Плоскости α и SCD пересекаются по прямой MN. Прямая AB лежит в α и параллельна CD, лежащей в плоскости SCD, причём AB не принадлежит этой плоскости. Следовательно, AB ∥ (SCD).
Если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, то линия пересечения этих плоскостей параллельна данной прямой. Поэтому MN ∥ AB ∥ CD.
Из подобия треугольников SMN и SCD следует SM/SC = SN/SD = MN/CD. По условию MN = a/5, а CD = a, поэтому SM/SC = SN/SD = 1/5.
Следовательно, SM/MC = SN/ND = (1/5)/(4/5) = 1/4.
Ответ: SM : MC = SN : ND = 1 : 4.
б) Пусть E и F — середины AB и CD, Q — середина MN, O — центр основания. Из подобия треугольников SMN и SCD следует, что Q лежит на SF и SQ/SF = 1/5.
Так как AB ∥ MN и AN = BM = a, сечение ABMN — равнобедренная трапеция. Отрезок EQ, соединяющий середины её оснований, перпендикулярен AB.
Поскольку EF ⟂ AB, угол QEF является линейным углом двугранного угла между плоскостью α и основанием.
Опустим QT перпендикулярно плоскости основания. Прямые QT и SO параллельны, поэтому треугольники FQT и FSO подобны. Значит, FT/FO = FQ/FS = 4/5.
Так как EF = a и FO = a/2, имеем FT = 2a/5 и ET = EF − FT = 3a/5. Точка T лежит на EF, поэтому искомый угол равен ∠QET.
Для вычисления EQ опустим из N перпендикуляр NR на AB. В равнобедренной трапеции AR = (AB − MN)/2 = 2a/5.
По теореме Пифагора NR = √(AN² − AR²) = √(a² − 4a²/25) = a√21/5. Высоты трапеции равны, поэтому EQ = NR = a√21/5.
В прямоугольном треугольнике EQT получаем cos ∠QET = ET/EQ = (3a/5)/(a√21/5) = 3/√21 = √21/7.
Ответ: √21/7.