В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна 8, а боковое ребро равно 7. На рёбрах и отмечены точки и соответственно, причём , . Плоскость перпендикулярна плоскости и содержит точки и .
а) Докажите, что плоскость содержит точку .
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью .
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 3 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Обозначим центр основания через O, а высоту пирамиды через SO. Введём в плоскости основания координаты: A(0; 0), B(8; 0), C(8; 8), D(0; 8). Тогда O(4; 4), M(2; 0).
Пусть H — ортогональная проекция K на основание. Поскольку SB = 7 и SK = 1, получаем BK/BS = 6/7.
В треугольнике BSO отрезок KH параллелен SO, поэтому треугольники BKH и BSO подобны и BH/BO = KH/SO = 6/7.
Следовательно, H лежит на BO и имеет координаты H(32/7; 24/7).
Прямая MC задаётся уравнением 4x − 3y − 8 = 0. Координаты H удовлетворяют этому уравнению: 128/7 − 72/7 − 8 = 0. Значит, M, H и C лежат на одной прямой.
Плоскость α перпендикулярна основанию, поэтому перпендикуляр к основанию, проведённый через её точку K, лежит в α. Следовательно, H принадлежит α.
Таким образом, прямая MH = MC лежит в α, откуда C принадлежит α. Ответ: утверждение доказано.
б) Найдём высоту пирамиды. Диагональ квадрата равна 8√2, поэтому OA = 4√2. По теореме Пифагора SO = √(SA² − OA²) = √(49 − 32) = √17.
Из подобия треугольников BKH и BSO получаем KH = 6√17/7.
Обоснуем вид сечения. След плоскости α на основании — прямая MC, а сама плоскость имеет уравнение 4x − 3y − 8 = 0 в пространственных координатах с вертикальной осью Oz.
Значения выражения 4x − 3y − 8 в вершинах A, B, C, D, S равны соответственно −8, 24, 0, −32, −4. Поэтому плоскость пересекает рёбра AB и SB в точках M и K, проходит через C и не пересекает внутренние точки остальных рёбер. Сечение — треугольник MKC.
В прямоугольном треугольнике MBC имеем MB = 6, BC = 8, поэтому MC = √(6² + 8²) = 10.
Так как KH перпендикулярен плоскости основания, то KH перпендикулярен MC и является высотой треугольника MKC.
S = MC · KH/2 = 10 · 6√17/(2 · 7) = 30√17/7.
Ответ: 30√17/7.