В правильной четырёхугольной пирамиде точки и середины рёбер и соответственно.
а) Докажите, что прямая параллельна плоскости
б) Найдите высоту пирамиды, если а угол между прямой и плоскостью основания пирамиды равен
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 3 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Обозначим через P середину ребра SA. В треугольнике SAB отрезок MP — средняя линия, поэтому MP ∥ SB.
В треугольнике SAD отрезок PK — средняя линия, поэтому PK ∥ AD. Поскольку AD ∥ BC, получаем PK ∥ BC.
Пересекающиеся прямые MP и PK плоскости MPK соответственно параллельны пересекающимся прямым SB и BC плоскости SBC. По признаку параллельности плоскостей (MPK) ∥ (SBC).
Прямая MK лежит в плоскости MPK, следовательно, MK ∥ (SBC).
Ответ: MK ∥ (SBC), что и требовалось доказать.
б) Пусть O — центр основания, SO = h — высота пирамиды, H — основание перпендикуляра из K на плоскость основания.
В треугольнике DSO точка K — середина DS. Поскольку KH ∥ SO, по теореме о средней линии H — середина DO и KH = h/2.
Опустим из H перпендикуляр HX на AB. Проекция центра O на AB — точка M, причём OM = 12. Расстояние от D до AB равно 24, поэтому для середины H отрезка DO получаем HX = (24 + 12)/2 = 18 и AX = (0 + 12)/2 = 6.
Тогда MX = AM − AX = 12 − 6 = 6. По теореме Пифагора MH = √(MX² + HX²) = √(6² + 18²) = 6√10.
Отрезок MH — ортогональная проекция MK на основание, поэтому ∠KMH = 30°. В прямоугольном треугольнике KMH имеем KH = MH · tg 30° = 6√10/√3 = 2√30.
Следовательно, SO = 2KH = 4√30.
Ответ: 4√30.