В основании пирамиды лежит трапеция с бо́льшим основанием Диагонали трапеции пересекаются в точке Точки и — середины боковых сторон и соответственно. Плоскость проходит через точки и параллельно прямой
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью является трапецией.
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью , если а прямая перпендикулярна прямой
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 3 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Обозначим AD = a, BC = b, где a > b. Пусть X и Y — точки пересечения MN с диагоналями AC и BD соответственно.
По теореме о средней линии трапеции MN ∥ AD ∥ BC. По теореме о средней линии треугольника X и Y — середины AC и BD.
Треугольники AOD и COB подобны по двум углам, поэтому AO/OC = DO/OB = a/b. Следовательно, AO/AC = DO/DB = a/(a + b) > 1/2; значит, X лежит на AO, а Y — на DO.
В плоскости α через X и Y проведём прямые, параллельные SO. Они пересекают SA и SD в точках P и Q соответственно. По подобию треугольников AXP и AOS, DYQ и DOS получаем AP/AS = DQ/DS = (a + b)/(2a).
По обратной теореме Фалеса в треугольнике SAD имеем PQ ∥ AD, а значит, PQ ∥ MN. При этом SP/SA = SQ/SD = (a − b)/(2a), откуда PQ = (a − b)/2.
Плоскость α пересекает основание по MN, а боковые грани SAB, SAD и SCD — по MP, PQ и QN. Поэтому сечение — четырёхугольник MPQN. Его противоположные стороны MN и PQ параллельны и имеют разные длины (a + b)/2 и (a − b)/2, следовательно, он является трапецией.
Ответ к пункту а): сечение MPQN — трапеция.
б) При a = 10 и b = 8 получаем MN = (10 + 8)/2 = 9, PQ = (10 − 8)/2 = 1.
Из подобия треугольников AXP и AOS следует XP/SO = AX/AO = (a + b)/(2a) = 9/10. Поэтому XP = 8 · 9/10 = 36/5.
Поскольку XP ∥ SO, MN ∥ AD и SO ⟂ AD, имеем XP ⟂ MN. Точки X и P принадлежат основаниям трапеции сечения, поэтому XP — её высота.
Площадь сечения равна (MN + PQ) · XP/2 = (9 + 1) · (36/5)/2 = 36.
Ответ к пункту б): 36.