В правильной четырёхугольной пирамиде точки и середины рёбер и соответственно.
а) Докажите, что прямая параллельна плоскости
б) Найдите высоту пирамиды, если а угол между прямой и плоскостью основания пирамиды равен
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 3 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Доказательство. Обозначим через N середину ребра SA.
В треугольнике SAB отрезок MN — средняя линия, поэтому MN ∥ SB.
В треугольнике SAD отрезок NK — средняя линия, поэтому NK ∥ AD. Так как ABCD — квадрат, AD ∥ BC, следовательно, NK ∥ BC.
Пересекающиеся прямые MN и NK плоскости MNK соответственно параллельны пересекающимся прямым SB и BC плоскости SBC. По признаку параллельности плоскостей (MNK) ∥ (SBC).
Прямая MK лежит в плоскости MNK, поэтому MK ∥ (SBC).
Ответ: MK ∥ (SBC), что и требовалось доказать.
б) Решение. Пусть O — центр основания, SO = h — высота пирамиды, P — ортогональная проекция K на основание.
В треугольнике DSO точка K — середина DS, а KP ∥ SO, поэтому P — середина DO и KP = h/2.
Введём в плоскости основания прямоугольную систему координат: A(0; 0), B(12; 0), D(0; 12). Тогда O(6; 6), M(6; 0), а середина DO имеет координаты P(3; 9).
По формуле расстояния MP² = (6 − 3)² + (0 − 9)² = 90, откуда MP = 3√10.
Проекция отрезка MK на основание — MP, поэтому угол между MK и основанием равен ∠KMP = 60°. Треугольник KPM прямоугольный, следовательно, KP/MP = tg 60° = √3.
Получаем h/2 = 3√10 · √3 = 3√30, поэтому h = 6√30.
Ответ: 6√30.