Дана правильная четырёхугольная призма Плоскость проходит через вершины и и пересекает рёбра и в точках и соответственно. Известно, что четырёхугольник ромб.
а) Докажите, что точка середина ребра
б) Найдите высоту призмы если площадь её основания равна 3, а площадь ромба равна 6.
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 3 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Обозначим сторону основания через a, высоту призмы через h, длину AM через x.
Боковые рёбра правильной призмы перпендикулярны основанию. По теореме Пифагора в прямоугольных треугольниках MAD и MA₁B₁ получаем: MD² = a² + x², MB₁² = a² + (h − x)².
Все стороны ромба равны, поэтому MD = MB₁. Следовательно, x² = (h − x)², откуда 2hx = h². Поскольку h > 0, имеем x = h/2.
Ответ: M — середина AA₁.
б) Аналогично, из равенства KD = KB₁ и теоремы Пифагора следует: CK² = (h − CK)². Поэтому CK = h/2, то есть K — середина CC₁.
В прямоугольнике ACC₁A₁ отрезок MK соединяет середины противоположных сторон AA₁ и CC₁, поэтому MK = AC = a√2.
Площадь основания равна 3, следовательно, a² = 3 и MK = √6.
Диагонали ромба перпендикулярны, поэтому его площадь равна половине произведения диагоналей: 6 = MK · B₁D/2. Отсюда B₁D = 12/√6 = 2√6.
Треугольник DBB₁ прямоугольный, поскольку BB₁ перпендикулярно плоскости основания. Поэтому B₁D² = BD² + h².
Так как BD² = 2a² = 6, получаем h² = (2√6)² − 6 = 18, откуда h = 3√2.
Ответ: 3√2.