В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна 6, а боковое ребро равно 7. На рёбрах и отмечены
точки и соответственно, причём . Плоскость содержит прямую и параллельна прямой .
а) Докажите, что плоскость параллельна прямой .
б) Найдите угол между плоскостями и .
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 3 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) В треугольнике CSD имеем CN/CD = 2/3 и CK/CS = 2/3. Поэтому по обратной теореме Фалеса KN ∥ SD.
Через K проведём прямую l ∥ BC. Она лежит в α, поскольку K принадлежит α и BC ∥ α.
Основание ABCD — квадрат, поэтому BC ∥ AD, следовательно, l ∥ AD.
Пересекающиеся прямые KN и l плоскости α соответственно параллельны пересекающимся прямым SD и AD плоскости SAD. По признаку параллельности плоскостей α ∥ SAD.
Так как SA лежит в плоскости SAD, параллельной α, то SA ∥ α.
Ответ: а) SA ∥ α.
б) Обозначим середины AD и BC через L и M, а центр основания — через O. В квадрате LM ⟂ BC и LM = 6.
В равнобедренном треугольнике SBC медиана SM является высотой, поэтому SM ⟂ BC. Таким образом, BC перпендикулярна плоскости SLM, поскольку перпендикулярна двум пересекающимся прямым SM и LM этой плоскости.
Так как AD ∥ BC, то AD также перпендикулярна плоскости SLM. Следовательно, сечение плоскостью SLM перпендикулярно направлению линии пересечения плоскостей SAD и SBC, которая проходит через S параллельно AD и BC.
Поэтому угол между SAD и SBC равен меньшему углу между SL и SM. Поскольку α ∥ SAD, это также искомый угол между α и SBC.
В равнобедренных треугольниках SAD и SBC отрезки SL и SM — высоты. По теореме Пифагора SL² = SM² = 7² − 3² = 40.
По теореме косинусов в треугольнике SLM: cos ∠LSM = (SL² + SM² − LM²)/(2 · SL · SM) = (40 + 40 − 36)/80 = 11/20.
Угол LSM острый, поэтому он равен углу между рассматриваемыми плоскостями.
Ответ: б) arccos(11/20).