В основании правильной треугольной пирамиды лежит треугольник со стороной, равной 5. Боковое ребро пирамиды равно 9. На ребре AD отмечена точка так, что . Через точку Т параллельно прямым и проведена плоскость.
а) Докажите, что сечение пирамиды указанной плоскостью является прямоугольником.
б) Найдите площадь сечения.
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 3 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) В грани ADC через T проведём TU ∥ AC, где U принадлежит DC. В грани ADB через T проведём TV ∥ DB, где V принадлежит AB. Обе прямые лежат в заданной плоскости сечения.
Из подобия треугольников DTU и DAC получаем DU/DC = DT/DA = 2/3, поэтому CU/CD = 1/3.
Из подобия треугольников ATV и ADB получаем AV/AB = AT/AD = 1/3, поэтому BV/BA = 2/3.
В грани CDB проведём UW ∥ DB, где W принадлежит CB. По подобию треугольников CUW и CDB имеем CW/CB = CU/CD = 1/3, откуда BW/BC = 2/3.
Следовательно, BV/BA = BW/BC. По обратной теореме Фалеса VW ∥ AC.
Прямая UW лежит в плоскости сечения: она проходит через U параллельно прямой TV этой плоскости. Таким образом, сечение — четырёхугольник TUWV, причём TU ∥ VW и TV ∥ UW. Значит, TUWV — параллелограмм.
Пусть E — середина AC. В равностороннем треугольнике ABC медиана BE является высотой, поэтому BE ⟂ AC. В равнобедренном треугольнике ADC медиана DE также является высотой, поэтому DE ⟂ AC.
По признаку перпендикулярности прямой и плоскости AC ⟂ BDE. Следовательно, AC ⟂ BD.
Так как TU ∥ AC и TV ∥ BD, угол UTV прямой. Параллелограмм TUWV является прямоугольником.
Ответ: а) сечение TUWV — прямоугольник.
б) По подобию треугольников DTU и DAC: TU/AC = DT/DA = 2/3. Поэтому TU = 5 · 2/3 = 10/3.
По подобию треугольников ATV и ADB: TV/DB = AT/AD = 1/3. Боковое ребро DB = 9, поэтому TV = 3.
Площадь прямоугольника равна произведению соседних сторон: S = TU · TV = (10/3) · 3 = 10.
Ответ: б) 10.