а) Решите уравнение
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 2 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Решение уравнения.
Уравнение определено при всех действительных x.
По формулам cos(−x) = cos x и cos 2x = 2cos²x − 1 получаем:
2cos²x + cos x − 1 = 0.
Разложим на множители: (2cos x − 1)(cos x + 1) = 0.
Следовательно, cos x = 1/2 или cos x = −1.
Ответ а): x = π + 2πk; x = ±π/3 + 2πk, k ∈ Z.
б) Отбор корней на отрезке [−7π/2; −2π].
Для x = π + 2πk: −7π/2 ≤ π + 2πk ≤ −2π, откуда −9/4 ≤ k ≤ −3/2. Единственное целое значение k = −2 даёт x = −3π.
Для x = π/3 + 2πk: −7π/2 ≤ π/3 + 2πk ≤ −2π, откуда −23/12 ≤ k ≤ −7/6. Целых значений k нет.
Для x = −π/3 + 2πk: −7π/2 ≤ −π/3 + 2πk ≤ −2π, откуда −19/12 ≤ k ≤ −5/6. Единственное целое значение k = −1 даёт x = −7π/3.
Ответ б): −3π; −7π/3.