В параллелограмме с острым углом из вершины проведены высоты и причём точка лежит на стороне а точка на стороне На стороне отмечена точка Известно, что
а) Докажите, что
б) Найдите площадь треугольника если
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 3 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Применим метод координат. Пусть P(a; 0), A(0; 0), B(a; h), D(d; 0), где h = BP, a = AP. Поскольку угол BAD острый, a > 0.
Обозначим AB = s. По теореме Пифагора s² = a² + h².
Площадь параллелограмма равна AD · BP = AB · BQ. Так как BQ = AB = s, получаем dh = s², то есть d = (a² + h²)/h.
Сторона CD параллельна AB, поэтому координаты Q можно записать как Q(d + ta; th). Условие BQ ⊥ CD даёт a(d + ta − a) + h(th − h) = 0.
Следовательно, t(a² + h²) = a² + h² − ad, откуда t = 1 − a/h. Поэтому Q(a + h; h − a).
Так как AM = h, имеем M(h; 0). По формуле расстояния между точками BM² = (h − a)² + h², PQ² = h² + (h − a)². Следовательно, BM = PQ.
Ответ: BM = PQ, что и требовалось доказать.
б) При h = 8 и s = 10 по теореме Пифагора a = √(10² − 8²) = 6.
Из найденных координат Q следует, что расстояние от Q до прямой AP равно |h − a| = 2.
По формуле площади треугольника S(APQ) = AP · 2/2 = 6 · 2/2 = 6.
Ответ: 6.