Сечением прямоугольного параллелепипеда плоскостью , содержащей прямую и параллельной прямой , является ромб.
а) Докажите, что грань квадрат.
б) Найдите угол между плоскостями и , если , .
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 3 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Доказательство.
Пусть AB = a, AD = b, AA₁ = h. Введём прямоугольные координаты: A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C(a; b; 0), D₁(0; b; h).
Плоскость α задаётся уравнением x/a − y/b + 2z/h = 1. Действительно, B и D₁ удовлетворяют этому уравнению, а вектор AC = (a; b; 0) перпендикулярен нормали (1/a; −1/b; 2/h), поскольку их скалярное произведение равно 1 − 1 = 0.
Эта плоскость пересекает AA₁ и CC₁ в их серединах M(0; 0; h/2) и N(a; b; h/2).
Сечение — четырёхугольник BND₁M. Для обоснования заметим: внутри параллелепипеда z = (h/2)(1 − x/a + y/b), и при 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b выполняется 0 ≤ z ≤ h. Поэтому других вершин сечения нет.
По формуле расстояния между точками BM² = a² + h²/4, BN² = b² + h²/4.
По условию сечение — ромб, следовательно, BM = BN. Отсюда a² = b² и a = b, так как длины положительны.
Грань ABCD — прямоугольник с равными соседними сторонами, следовательно, квадрат.
Ответ: ABCD — квадрат.
б) Вычисление угла.
Из пункта а) AB = AD = 12, а по условию h = 10. Нормаль к α имеет координаты (1/12; −1/12; 1/5); умножив её на 60, получим n = (5; −5; 12).
Грань BCC₁ лежит в плоскости x = 12, поэтому её нормаль e = (1; 0; 0).
Для острого угла φ между плоскостями получаем cos φ = |n · e|/(|n| · |e|) = 5/√(25 + 25 + 144) = 5/√194.
Тогда sin φ = √(1 − 25/194) = 13/√194, поэтому tg φ = 13/5. Поскольку 0 < φ < 90°, имеем φ = arctg(13/5).
Ответ: arctg(13/5).