В основании пирамиды лежит трапеция с основаниями
и равными 8 и 3 соответственно. Точки и лежат на рёбрах
и соответственно, причём
Плоскость пересекает ребро в точке
а) Докажите, что
б) Плоскость делит пирамиду на два многогранника. Найдите отношение их объёмов.
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 3 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Из BC = 3 и BN : NC = 1 : 2 получаем NC = 2. Обозначим через P точку пересечения прямых AN и DC.
Так как NC ∥ AD и NC < AD, прямые AN и DC пересекаются за точками N и C соответственно. Треугольники PNC и PAD подобны по двум углам, поэтому PC/PD = NC/AD = 2/8 = 1/4.
Точки P, K, M лежат на одной прямой: P принадлежит плоскости AMN и плоскости SCD, а их линия пересечения проходит через M и K.
Применим теорему Менелая к треугольнику SDC и секущей MKP: (SM/MD) · (DP/PC) · (CK/KS) = 1.
Следовательно, (3/2) · 4 · (CK/KS) = 1, откуда SK/KC = 6.
Ответ: SK : KC = 6 : 1.
б) Плоскость SAC разбивает пирамиду на тетраэдры SACD и SABC. Пусть их объёмы равны V₁ и V₂ соответственно.
У треугольников ACD и ABC высоты к основаниям AD и BC равны расстоянию между параллельными прямыми AD и BC. Поэтому их площади относятся как 8 : 3. Высота из S общая, значит, V₁ : V₂ = 8 : 3. Положим V₁ = 8t, V₂ = 3t.
В тетраэдре SACD плоскость сечения отделяет тетраэдр SAMK. Треугольники SMK и SDC имеют общий угол при S, поэтому отношение их площадей равно (SM/SD) · (SK/SC) = (3/5) · (6/7) = 18/35.
Высоты тетраэдров SAMK и SACD из A к плоскости SCD совпадают. Следовательно, объём части тетраэдра SACD, содержащей D, равен (1 − 18/35)V₁ = 17V₁/35.
В тетраэдре SABC сечение ANK отделяет тетраэдр CANK. Треугольники CNK и CBS имеют общий угол при C, поэтому отношение их площадей равно (CN/CB) · (CK/CS) = (2/3) · (1/7) = 2/21.
Высоты этих тетраэдров из A к плоскости SBC совпадают, значит, объём CANK равен 2V₂/21.
Точки C и D лежат по одну сторону от плоскости сечения: отрезок CD пересекает её только на продолжении, в точке P. Поэтому объём многогранника, содержащего C и D, равен 17V₁/35 + 2V₂/21 = 136t/35 + 2t/7 = 146t/35.
Объём всей пирамиды равен 11t, поэтому объём второго многогранника составляет 11t − 146t/35 = 239t/35.
Ответ: 146 : 239.