В треугольнике точки , и середины сторон , и соответственно, высота, , .
а) Докажите, что точки , , и лежат на одной окружности.
б) Найдите , если .
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 3 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Угол B равен 180° − 30° − 45° = 105°. Поэтому основание высоты H лежит на продолжении BC за точку B; порядок точек на прямой: H, B, A₁, C.
В прямоугольном треугольнике AHC угол HAC равен 45°. Кроме того, угол HAB = 105° − 90° = 15°.
Точка B₁ — середина гипотенузы AC прямоугольного треугольника AHC, поэтому B₁H = B₁A. Из равнобедренного треугольника AHB₁ получаем ∠AHB₁ = ∠HAB₁ = 45°.
Аналогично C₁ — середина гипотенузы AB прямоугольного треугольника AHB, поэтому C₁H = C₁A и ∠AHC₁ = ∠HAC₁ = 15°.
Лучи HC₁ и HB₁ лежат по одну сторону от HA, причём HC₁ находится внутри угла AHB₁. Следовательно, ∠B₁HC₁ = 45° − 15° = 30°.
По теореме о средней линии A₁B₁ ∥ BA и A₁C₁ ∥ CA. Поэтому ∠B₁A₁C₁ = ∠BAC = 30°.
Точки H и A₁ лежат по одну сторону от прямой B₁C₁, параллельной BC. Углы B₁HC₁ и B₁A₁C₁ равны и опираются на один отрезок B₁C₁. По обратной теореме о вписанном угле точки A₁, B₁, C₁, H лежат на одной окружности.
Ответ: а) требуемое утверждение доказано.
б) По теореме синусов AC/sin 105° = BC/sin 30°, поэтому AC = 8√3 · sin 105°.
По формуле синуса суммы sin 105° = sin(60° + 45°) = (√6 + √2)/4. Следовательно, AC = 6√2 + 2√6.
В прямоугольном треугольнике AHC угол C равен 45°, поэтому HC = AC · cos 45° = 6 + 2√3.
Поскольку A₁ — середина BC, имеем CA₁ = 2√3. При порядке точек H, B, A₁, C получаем HA₁ = HC − CA₁ = 6 + 2√3 − 2√3 = 6.
Ответ: б) 6.