Окружность с центром касается катетов и прямоугольного треугольника в точках и соответственно, а его гипотенузы
в точке Отрезок перпендикуляр к прямой
а) Докажите, что прямые и параллельны.
б) Найдите отношение если и
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 3 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Введём прямоугольную систему координат: C(0; 0), A(a; 0), B(0; b). Обозначим радиус вписанной окружности через r. Тогда M(r; 0), E(0; r), O(r; r).
Пусть K(u; v). Поскольку K лежит на окружности, (u − r)² + (v − r)² = r², откуда u² + v² = 2r(u + v) − r².
Радиус OK перпендикулярен гипотенузе. Прямая AB имеет уравнение bx + ay = ab, поэтому перпендикуляр к ней, направленный из O к K, имеет положительные приращения обеих координат. Следовательно, u > r и v > r.
Положим d = u + v − r > 0 и рассмотрим точку H₀(uv/d; v(v − r)/d).
Прямая MK имеет уравнение vx − (u − r)y = vr. Подстановка координат H₀ даёт v·uv/d − (u − r)·v(v − r)/d = vr, поэтому H₀ лежит на MK.
Проверим перпендикулярность EH₀ и MK по скалярному произведению их направляющих векторов:
(uv/d)(u − r) + (v(v − r)/d − r)v = v(u² + v² − r(u + v))/d − rv = vr(u + v − r)/d − rv = 0.
Таким образом, H₀ является основанием перпендикуляра из E на MK, то есть H₀ = H. При этом вектор CH = (v/d)·(u; v − r) = (v/d)·EK. Следовательно, CH ∥ EK и CH/EK = v/(u + v − r).
Ответ: CH ∥ EK.
б) По теореме Пифагора AB = √(12² + 5²) = 13. Из равенства площади треугольника произведению радиуса вписанной окружности на полупериметр получаем r = (12·5/2)/((12 + 5 + 13)/2) = 2.
Гипотенуза имеет уравнение 5x + 12y = 60. Поскольку OK ⟂ AB и O(2; 2), запишем K(2 + 5t; 2 + 12t). Тогда 5(2 + 5t) + 12(2 + 12t) = 60, откуда t = 2/13.
Следовательно, u = 36/13, v = 50/13. По формуле, доказанной в пункте а), CH/EK = (50/13)/(36/13 + 50/13 − 2) = 50/60 = 5/6.
Ответ: 5/6.