Пятиугольник вписан в окружность. Диагонали и пересекаются в точке Известно, что — параллелограмм.
а) Докажите, что
б) Найдите длину стороны если известно, что и
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 3 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Поскольку BCDM — параллелограмм, CD ∥ BM, а точки B, M, E лежат на одной прямой. Поэтому CD ∥ BE и ∠CDB = ∠DBE как накрест лежащие углы.
Вписанные углы CDB и DBE опираются соответственно на дуги CB и DE. Равным вписанным углам соответствуют равные хорды, поэтому BC = DE.
Ответ: BC = DE, что и требовалось доказать.
б) В параллелограмме противоположные стороны равны: DM = BC = DE = 4. Так как M лежит на диагонали AD, AM = AD − DM = 7 − 4 = 3.
По теореме о произведениях отрезков пересекающихся хорд BM · ME = AM · MD = 12. При этом BM + ME = BE = 8.
Положим BM = x, тогда ME = 8 − x. Получаем x(8 − x) = 12, то есть x² − 8x + 12 = 0. Следовательно, BM = 2 или BM = 6.
Треугольники ABM и EDM подобны по двум углам: ∠AMB = ∠EMD как вертикальные, а ∠BAM = ∠DEM как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу BD.
Из подобия AB/DE = BM/DM. Поскольку DE = DM = 4, имеем AB = BM.
По условию AB > BC = 4, поэтому значение BM = 2 не подходит. Значит, AB = 6.
Ответ: 6.