На стороне равностороннего треугольника отмечена точка Серединный перпендикуляр к отрезку пересекает стороны и
в точках и соответственно.
а) Докажите, что треугольники и подобны.
б) Найдите отношение если площади треугольников и равны 4 и 9 соответственно.
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 3 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Точки E и K лежат на серединном перпендикуляре к BM, поэтому EB = EM и KB = KM.
Обозначим ∠ABM = α. Тогда ∠MBC = 60° − α.
В равнобедренном треугольнике BEM углы при основании BM равны α, поэтому ∠BEM = 180° − 2α. Поскольку лучи EA и EB противоположны, ∠AEM = 2α.
В равнобедренном треугольнике BKM углы при основании BM равны 60° − α. Следовательно, ∠BKM = 60° + 2α.
Лучи KB и KC противоположны, поэтому ∠CKM = 120° − 2α. В треугольнике CMK угол при C равен 60°, откуда ∠CMK = 2α.
Таким образом, ∠EAM = ∠MCK = 60° и ∠AEM = ∠CMK. Треугольники AEM и CMK подобны по двум углам, с соответствием A ↔ C, E ↔ M, M ↔ K.
Ответ: а) подобие доказано.
б) Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия, поэтому AE/CM = √(4/9) = 2/3.
Пусть AM = x, MC = y, сторона равностороннего треугольника равна a = x + y, а AE = e. Тогда EB = a − e и EM = a − e.
По теореме косинусов в треугольнике AEM: EM² = e² + x² − 2ex cos 60° = e² + x² − ex.
Следовательно, (a − e)² = e² + x² − ex, откуда e(2a − x) = a² − x².
Учитывая a − x = y и 2a − x = a + y, получаем e/y = (a + x)/(a + y).
Поэтому (a + x)/(a + y) = 2/3, то есть 3a + 3x = 2a + 2y. Подставляя a = x + y, находим 4x = y.
Ответ: б) AM : MC = 1 : 4.