Четырёхугольник вписан в окружность радиуса . Известно,
что .
а) Докажите, что прямые и параллельны.
б) Найдите .
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 3 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Равные хорды AB и CD стягивают равные дуги, поэтому опирающиеся на них вписанные углы ADB и DBC равны.
Эти углы являются накрест лежащими при прямых AD и BC и секущей BD. По признаку параллельности прямых AD ∥ BC.
Ответ а): BC ∥ AD.
б) Пусть α — центральный угол, соответствующий меньшей дуге хорды длины 12. По формуле хорды 12 = 2 · 8 · sin(α/2), поэтому sin(α/2) = 3/4.
Отсюда cos α = 1 − 2sin²(α/2) = 1 − 18/16 = −1/8. Следовательно, 90° < α < 120°.
Последовательные дуги AB, BC и CD равны α: большая дуга величины 360° − α среди них невозможна, поскольку вместе с двумя остальными дугами их сумма превысила бы 360°.
Оставшаяся дуга AD имеет величину β = 360° − 3α, где 0° < β < 90°. Поэтому AD = 16sin(β/2) = 16sin(180° − 3α/2) = 16sin(3α/2).
Применим формулу sin 3t = 3sin t − 4sin³t при t = α/2:
AD = 16 · (3 · 3/4 − 4 · (3/4)³) = 16 · (9/4 − 27/16) = 9.
Ответ б): 9.