Пятиугольник вписан в окружность. Известно, что
а) Докажите, что
б) Найдите длину диагонали если
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 3 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Рассмотрим дуги AB, BC, CD, DE между соседними вершинами пятиугольника.
Равным хордам AB и CD соответствуют равные дуги AB и CD. Действительно, если бы эти дуги были неравны, их сумма составляла бы 360°, что невозможно: остаются ещё дуги BC, DE и EA.
Аналогично из BC = DE следует равенство дуг BC и DE.
Поэтому дуга ABC равна дуге CDE. Равные дуги стягиваются равными хордами, следовательно, AC = CE.
Ответ к пункту а): AC = CE, что и требовалось доказать.
б) Обозначим AC = CE = x, BD = y, BE = t. Применим теорему Птолемея: произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений его противоположных сторон.
Для четырёхугольника ABCD получаем AC · BD = AB · CD + BC · AD, то есть xy = 3 · 3 + 4 · 6 = 33.
Для четырёхугольника BCDE получаем BD · CE = BC · DE + CD · BE, то есть xy = 4 · 4 + 3t.
Следовательно, 33 = 16 + 3t, откуда t = 17/3.
Ответ к пункту б): 17/3.