Биссектрисы углов и равнобедренной трапеции пересекаются в точке Через точку провели прямую, параллельную основаниям и
а) Докажите, что отрезок этой прямой внутри трапеции равен её боковой стороне.
б) Найдите отношение длин оснований трапеции, если и данная прямая делит сторону в отношении
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 3 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Обозначим точки пересечения проведённой прямой с AB и CD через M и N соответственно, а длину боковой стороны трапеции — через l. Пусть ∠BAD = α.
Так как MN параллельна AD, то ∠AOM = ∠OAD. По свойству биссектрисы ∠MAO = ∠OAD. Следовательно, треугольник AMO равнобедренный и AM = MO.
Аналогично, из MN ∥ BC и того, что CO — биссектриса угла BCD, следует ∠CON = ∠BCO = ∠OCN. Поэтому CN = NO.
Параллельные прямые AD, MN и BC отсекают на боковых сторонах пропорциональные отрезки: AM/AB = DN/DC. Поскольку AB = DC, получаем AM = DN.
Таким образом, MN = MO + ON = AM + CN = DN + CN = CD = l.
Ответ к пункту а): отрезок проведённой прямой внутри трапеции равен боковой стороне.
б) Из AM:MB = 1:2 следует AM = l/3. По доказанному MO = l/3, DN = l/3, а CN = NO = 2l/3.
В треугольнике AMO угол AMO равен 180° − α. По теореме косинусов AO² = 2l²(1 + cos α)/9.
Углы при основании AD равнобедренной трапеции равны, поэтому ∠CDA = α. Из MN ∥ AD получаем ∠CNO = α.
По теореме косинусов в треугольнике CNO имеем CO² = 8l²(1 − cos α)/9.
Так как AO = CO, то 1 + cos α = 4(1 − cos α), откуда cos α = 3/5.
Обозначим AD = a, BC = b. Проекции равных боковых сторон на прямую AD равны l cos α, поэтому a − b = 2l cos α = 6l/5.
Поскольку AM/AB = 1/3, длина параллельного основаниям сечения равна MN = a + (b − a)/3 = (2a + b)/3. Это следует из подобия треугольников, образованных боковыми сторонами и параллельными основаниям прямыми.
По пункту а) MN = l, значит, 2a + b = 3l. Совместно с a − b = 6l/5 получаем a = 7l/5, b = l/5.
Ответ к пункту б): AD:BC = 7:1.