В параллелограмме угол вдвое больше угла
Биссектриса угла пересекает отрезок в точке На продолжении стороны за точку выбрана такая точка что
а) Докажите, что
б) Найдите если
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 3 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Доказательство.
Обозначим ∠CAD = α. Тогда ∠BAC = 2α, а ∠BCA = α, поскольку BC ∥ AD.
Так как AL — биссектриса, ∠BAL = ∠LAC = α. В треугольнике ALC углы при A и C равны, поэтому AL = LC.
Треугольники ABL и CBA подобны по двум углам: ∠BAL = ∠BCA = α, ∠ABL = ∠CBA.
Следовательно, AB/BC = AL/AC, откуда AL · BC = AB · AC.
Ответ: равенство доказано.
б) Вычисление EL.
Из tg α = 1/2 получаем sin α = 1/√5, cos α = 2/√5.
По формулам двойного и тройного угла sin 2α = 4/5, cos 2α = 3/5, sin 3α = 11/(5√5).
В треугольнике ABC угол B равен 180° − 3α. По теореме синусов:
AB = 8 sin α/sin 3α = 40/11; BC = 8 sin 2α/sin 3α = 32√5/11.
Введём координаты A(0; 0), C(8; 0), расположив B выше оси AC.
Поскольку ∠BAC = 2α, получаем B(AB cos 2α; AB sin 2α) = B(24/11; 32/11).
Из AE = CE следует, что E лежит на серединном перпендикуляре к AC, то есть x = 4.
Прямая CD параллельна AB, поэтому её уравнение y = (4/3)(x − 8). Значит, E(4; −16/3). Эта точка лежит за D, поскольку D = (64/11; −32/11).
По пункту а) LC = AL = AB · AC/BC = 2√5, поэтому CL/CB = 11/16.
Координаты L на отрезке CB: x = 8 + (11/16)(24/11 − 8) = 4, y = (11/16)(32/11) = 2.
Следовательно, EL = 2 + 16/3 = 22/3.
Ответ: 22/3.