На стороне треугольника отмечена точка так, что Биссектриса треугольника пересекает прямую в точке
Из точки на прямую опущен перпендикуляр
а) Докажите, что
б) Найдите отношение площади треугольника к площади четырёхугольника если
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 3 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Доказательство.
Поскольку D лежит на BC, луч BE — биссектриса угла ABD. В равнобедренном треугольнике ABD (AB = BD) биссектриса BE является также медианой и высотой. Поэтому AE = ED и BE ⟂ AD.
По условию CK ⟂ AD, следовательно, CK ∥ BE. Прямоугольные треугольники DBE и DCK подобны по двум углам: углы при D равны как вертикальные. При этом K лежит на луче ED за точкой D.
Из подобия DE/DK = BD/DC. Так как AE = DE и EK = ED + DK, получаем AE/EK = DE/(DE + DK) = BD/(BD + DC) = AB/BC.
Ответ: AB : BC = AE : EK, что и требовалось доказать.
б) Вычисление отношения площадей.
Обозначим площадь ABC через S. Из BD : DC = 5 : 2 следует BD/BC = 5/7. Треугольники ABD и ABC имеют общую высоту к прямой BC, поэтому S(ABD) = 5S/7.
Поскольку AE = ED, треугольники ABE и DBE имеют равные основания на AD и общую высоту из B. Поэтому S(ABE) = S(DBE) = 5S/14.
По теореме о биссектрисе AF/FC = AB/BC = BD/BC = 5/7. Треугольники ABF и CBF имеют общую высоту из B к AC, поэтому S(CBF) = 7S/12.
Отрезок DE отделяет от треугольника CBF треугольник DBE, поэтому S(CDEF) = 7S/12 − 5S/14 = 19S/84.
Следовательно, S(ABE)/S(CDEF) = (5/14)/(19/84) = 30/19.
Ответ: 30 : 19.