В равнобедренной трапеции основание в три раза больше основания .
а) Докажите, что высота трапеции разбивает основание на отрезки, один из которых вдвое больше другого.
б) Найдите расстояние от вершины до середины диагонали , если и .
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 3 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Опустим высоту BF на основание AD. Четырёхугольник FBCH — прямоугольник, поэтому FH = BC и BF = CH.
Прямоугольные треугольники ABF и DCH равны по гипотенузе и катету: AB = CD, поскольку трапеция равнобедренная, а BF = CH. Следовательно, AF = HD.
Пусть BC = x, тогда AD = 3x. Из равенства AD = AF + FH + HD получаем AF = HD = (3x − x)/2 = x.
Поэтому AH = AF + FH = 2x = 2HD.
Ответ: а) AH : HD = 2 : 1, что и требовалось доказать.
б) При AD = 15 имеем BC = 5, AH = 10 и HD = 5.
По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике ACH: CH² = AC² − AH² = (2√61)² − 10² = 244 − 100 = 144. Значит, CH = BF = 12.
Обозначим через M середину диагонали BD. Поскольку FH = BC = 5 и HD = 5, точка H — середина FD.
В треугольнике BFD отрезок MH соединяет середины сторон BD и FD. По теореме о средней линии MH = BF/2 = 6 и MH ∥ BF.
Точки C и M лежат по одну сторону от AD, на перпендикуляре к AD через H. Поэтому CM = CH − MH = 12 − 6 = 6.
Ответ: б) 6.