Окружность с центром касается боковых сторон и равнобедренного остроугольного треугольника и его высоты
а) Докажите, что
б) Найдите длину отрезка если и
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 3 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Введём координаты: A(−a; 0), C(a; 0), B(0; h), где a > 0. Поскольку угол B острый, h > a.
Центр окружности, касающейся сторон AB и BC, равноудалён от их прямых, поэтому лежит на одной из биссектрис углов между ними: x = 0 или y = h.
На прямой y = h при x ≠ 0 основание перпендикуляра к одной из прямых AB, BC лежит за точкой B, а при x = 0 радиус равен нулю. Поэтому O(0; t).
Основание перпендикуляра из O к AB принадлежит отрезку AB. Его положение задаётся числом (a² + ht)/(a² + h²), лежащим между 0 и 1. Отсюда −a²/h ≤ t ≤ h.
Прямая AB имеет уравнение hx − ay + ah = 0. Поскольку CH проходит через C перпендикулярно AB, её уравнение ax + hy − a² = 0.
Расстояния от O до AB и CH равны радиусу окружности. По формуле расстояния от точки до прямой получаем a(h − t)/√(a² + h²) = |ht − a²|/√(a² + h²).
Следовательно, a(h − t) = |ht − a²|. При ht ≥ a² получаем t = a, а при ht < a² получаем t = −a.
Второй вариант невозможен: из h > a следует −a < −a²/h. Таким образом, O(0; a).
Пусть D — середина AC. Тогда AD = OD = a и ∠ADO = 90°. Прямоугольный треугольник ADO равнобедренный, поэтому ∠OAC = ∠OAD = 45°.
Ответ: ∠OAC = 45°, что и требовалось доказать.
б) Из AC = 6 следует a = 3. Поскольку h > a, имеем BO = h − a = 1, откуда h = 4.
По теореме Пифагора BC = √(a² + h²) = √(9 + 16) = 5.
Ответ: 5.