На стороне параллелограмма выбрана точка такая,
что
а) Докажите, что центр вписанной в треугольник окружности лежит
на диагонали
б) Найдите радиус вписанной в треугольник окружности, если
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 3 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Так как AM = MC, треугольник AMC равнобедренный с основанием AC. Поэтому ∠MAC = ∠ACM.
В параллелограмме BC ∥ AD, следовательно, CM ∥ AD. Отсюда ∠ACM = ∠CAD как накрест лежащие углы при секущей AC.
Таким образом, ∠MAC = ∠CAD, то есть луч AC — биссектриса угла MAD.
Центр I вписанной окружности треугольника AMD лежит на пересечении его внутренних биссектрис, поэтому I принадлежит лучу AC.
При этом I находится внутри треугольника AMD, а значит, внутри параллелограмма ABCD. Часть луча AC, лежащая внутри параллелограмма, содержится в отрезке AC. Следовательно, I лежит на диагонали AC.
Ответ: центр вписанной окружности лежит на диагонали AC.
б) Обозначим AM = MC = x. Тогда BM = 10 − x. Смежные углы параллелограмма дают ∠ABM = 180° − 60° = 120°.
По теореме косинусов в треугольнике ABM: x² = 5² + (10 − x)² − 2 · 5 · (10 − x) · cos 120°.
Поскольку cos 120° = −1/2, получаем x² = 25 + 100 − 20x + x² + 50 − 5x. Отсюда 25x = 175, x = 7.
В параллелограмме CD = AB = 5 и ∠MCD = ∠BCD = 60°. По теореме косинусов в треугольнике MCD: MD² = 7² + 5² − 2 · 7 · 5 · cos 60° = 39. Значит, MD = √39.
Поскольку M лежит на BC и BC ∥ AD, высота треугольника AMD к основанию AD равна высоте параллелограмма: h = AB · sin 60° = 5√3/2.
Тогда S = AD · h/2 = 10 · (5√3/2)/2 = 25√3/2. Полупериметр треугольника AMD равен s = (7 + 10 + √39)/2 = (17 + √39)/2.
По формуле S = rs радиус вписанной окружности равен r = 25√3/(17 + √39) = 25√3(17 − √39)/(289 − 39) = (17√3 − 3√13)/10.
Ответ: (17√3 − 3√13)/10.