Окружность проходит через вершины В и С треугольника АВС и пересекает АВ и АС в точках С1 и В1 соответственно.
а) Докажите, что треугольник АВC подобен треугольнику АВ1С1
б) Вычислите длину стороны В1С1 и радиус данной окружности, если , и площадь треугольника АВ1С1 в три раза меньше площади четырёхугольника ВСВ1С1.
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 3 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Доказательство.
Четырёхугольник BCB₁C₁ вписан в окружность, поэтому ∠BCB₁ + ∠BC₁B₁ = 180°.
Поскольку A, C₁, B лежат на одной прямой, ∠AC₁B₁ + ∠BC₁B₁ = 180°. Следовательно, ∠AC₁B₁ = ∠BCB₁ = ∠BCA.
Кроме того, ∠B₁AC₁ = ∠BAC. Значит, треугольники ABC и AB₁C₁ подобны по двум углам, с соответствием A ↔ A, B ↔ B₁, C ↔ C₁.
Ответ: а) подобие доказано.
б) Вычисление.
Пусть площадь AB₁C₁ равна S. Тогда площадь четырёхугольника BCB₁C₁ равна 3S, а площадь ABC равна 4S.
Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Поэтому AB₁/AB = AC₁/AC = B₁C₁/BC = 1/2.
Отсюда B₁C₁ = BC/2 = 5√7.
Обозначим AB = x, ∠ACB = γ. Тогда AB₁ = x/2. По теореме косинусов в треугольнике ABB₁: BB₁² = x² + x²/4 − 2x · (x/2) · cos 120° = 7x²/4. Значит, BB₁ = x√7/2.
Из пункта а) ∠AC₁B₁ = γ, поэтому ∠BC₁B₁ = 180° − γ. По теореме синусов в треугольнике BC₁B₁ радиус данной окружности R = BB₁/(2 sin γ) = x√7/(4 sin γ).
По теореме синусов в треугольнике ABC: x/sin γ = BC/sin 120° = 10√7/(√3/2) = 20√7/√3.
Следовательно, R = (√7/4) · (20√7/√3) = 35/√3 = 35√3/3.
Ответ: б) B₁C₁ = 5√7; R = 35√3/3.