Окружность проходит через вершины В и С треугольника АВС и пересекает АВ и АС в точках С1 и В1 соответственно.
а) Докажите, что треугольник АВC подобен треугольнику АВ1С1.
б) Вычислите длину стороны ВС и радиус данной окружности, если А= , В1С1= и площадь треугольника АВ1С1 в восемь раз меньше площади четырёхугольника ВСB1C1.
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 3 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Точки C₁ и B₁ лежат соответственно на сторонах AB и AC. Четырёхугольник BC B₁C₁ вписан в окружность, поэтому ∠ABC + ∠CB₁C₁ = 180°.
Поскольку лучи B₁A и B₁C противоположны, ∠AB₁C₁ + ∠CB₁C₁ = 180°. Следовательно, ∠ABC = ∠AB₁C₁.
Кроме того, ∠BAC = ∠B₁AC₁. Значит, треугольники ABC и AB₁C₁ подобны по двум углам, с соответствием вершин A ↔ A, B ↔ B₁, C ↔ C₁.
Ответ: а) подобие доказано.
б) Обозначим площадь треугольника AB₁C₁ через S. Тогда площадь четырёхугольника BCB₁C₁ равна 8S, а площадь треугольника ABC равна 9S.
Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия, поэтому AB/AB₁ = AC/AC₁ = BC/B₁C₁ = √9 = 3. Отсюда BC = 3 · 6 = 18.
Пусть AB₁ = x, а ∠AC₁B₁ = γ. Тогда AB = 3x. По теореме косинусов в треугольнике ABB₁:
BB₁² = (3x)² + x² − 2 · 3x · x · cos 45° = x²(10 − 3√2).
По теореме синусов в треугольнике AB₁C₁ имеем x/sin γ = 6/sin 45°, откуда sin γ = x√2/12.
Угол BC₁B₁ дополняет угол AC₁B₁ до 180°, поэтому sin ∠BC₁B₁ = sin γ. Окружность из условия описана около треугольника BC₁B₁.
По расширенной теореме синусов её радиус R = BB₁/(2sin ∠BC₁B₁) = x√(10 − 3√2)/(x√2/6) = 3√(20 − 6√2).
Ответ: б) BC = 18; R = √(180 − 54√2) = 3√(20 − 6√2).