Сумма оснований трапеции равна 13, а её диагонали равны 5 и 12.
а) Докажите, что диагонали трапеции перпендикулярны.
б) Найдите высоту трапеции.
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 3 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Обозначим трапецию ABCD, где AB ∥ CD. Продлим основание AB за точку B и отметим точку E так, чтобы BE = CD.
В четырёхугольнике DBEC стороны BE и DC параллельны и равны. Следовательно, DBEC — параллелограмм, поэтому CE ∥ BD и CE = BD.
В треугольнике ACE сторона AE = AB + BE = AB + CD = 13, а стороны AC и CE равны диагоналям трапеции, то есть 5 и 12.
Поскольку 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13², по теореме, обратной теореме Пифагора, ∠ACE = 90°.
Таким образом, AC ⟂ CE. Так как CE ∥ BD, получаем AC ⟂ BD.
Ответ: а) диагонали трапеции перпендикулярны.
б) Площадь прямоугольного треугольника ACE равна половине произведения катетов: S = 5 · 12/2 = 30.
Высота из вершины C к прямой AE равна высоте h трапеции, поскольку AE лежит на прямой AB, параллельной CD.
Следовательно, S = AE · h/2 = 13h/2. Получаем 13h/2 = 30, откуда h = 60/13.
Ответ: б) 60/13.