Высоты и остроугольного треугольника пересекаются в точке
а) Докажите, что
б) Найдите расстояние от центра окружности, описанной около треугольника до стороны если и
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 3 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Поскольку BB₁ и CC₁ — высоты, ∠BB₁C = ∠BC₁C = 90°. Поэтому точки B, B₁, C₁, C лежат на окружности с диаметром BC.
Вписанные углы BB₁C₁ и BCC₁ опираются на одну хорду BC₁, поэтому ∠BB₁C₁ = ∠BCC₁.
Так как CC₁ ⟂ AB, то ∠BCC₁ = 90° − ∠ABC.
Точка H — ортоцентр треугольника, следовательно, AH ⟂ BC. Треугольник остроугольный, поэтому ∠BAH = 90° − ∠ABC.
Таким образом, ∠BB₁C₁ = ∠BAH.
Ответ: равенство доказано.
б) В прямоугольном треугольнике ABB₁ угол ABB₁ равен 90° − ∠BAC = 60°. Поскольку лучи BC₁ и BA совпадают, ∠B₁BC₁ = 60°.
Окружность через B, B₁, C₁, C имеет радиус BC/2. По расширенной теореме синусов для треугольника BB₁C₁ получаем B₁C₁ = BC · sin 60°.
Следовательно, BC = 18/(√3/2) = 12√3.
Пусть O — центр окружности, описанной около ABC, R — её радиус. По расширенной теореме синусов R = BC/(2 sin 30°) = 12√3.
Обозначим середину BC через M. Тогда OM ⟂ BC, поэтому OM — искомое расстояние до стороны BC.
По теореме Пифагора OM = √(R² − (BC/2)²) = √(432 − 108) = 18.
Ответ: 18.