В остроугольном треугольнике угол в два раза больше угла Точка центр окружности, описанной около треугольника Окружность, описанная около треугольника пересекает отрезок в точках и
а) Докажите, что треугольники и подобны.
б) Найдите длину стороны если
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 3 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Обозначим ∠ABC = β. Тогда ∠BAC = 2β.
Треугольник ABC остроугольный, поэтому центр описанной окружности O лежит внутри него. Центральный угол AOC и вписанный угол ABC опираются на одну дугу AC, следовательно, ∠AOC = 2β.
Точки A, O, C, P лежат на одной окружности. Точки O и P находятся по одну сторону от прямой AC, поэтому вписанные углы APC и AOC опираются на одну дугу и равны. Значит, ∠APC = 2β = ∠BAC.
Поскольку P лежит на отрезке BC, ∠PCA = ∠BCA. Следовательно, треугольники PAC и ABC подобны по двум углам; соответствие вершин: P ↔ A, A ↔ B, C ↔ C.
Ответ: треугольники PAC и ABC подобны.
б) Из подобия PC/AC = AC/BC, поэтому PC = AC²/BC = 4/√10.
Тогда BP = BC − PC = √10 − 4/√10 = 6/√10.
По подобию ∠PAC = ∠ABC = β. Поэтому ∠BAP = ∠BAC − ∠PAC = β, то есть AP — биссектриса треугольника ABC.
По теореме о биссектрисе AB/AC = BP/PC = (6/√10)/(4/√10) = 3/2.
Следовательно, AB = 2 · 3/2 = 3.
Ответ: 3.