В остроугольном треугольнике угол в два раза больше угла Точка — центр окружности, описанной около треугольника Окружность, описанная около треугольника пересекает отрезок в точках и
а) Докажите, что
б) Найдите длину стороны если
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 3 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Обозначим ∠ABC = β. Тогда ∠BAC = 2β, а ∠ACB = 180° − 3β. Из остроугольности треугольника следует 30° < β < 45°.
Центральный угол AOC, опирающийся на ту же дугу AC, что и вписанный угол ABC, равен 2β.
Поскольку треугольник ABC остроугольный, его центр описанной окружности O лежит внутри треугольника. Поэтому O и P находятся по одну сторону от прямой AC.
Точки A, O, C, P лежат на одной окружности. Вписанные углы AРC и AOC, вершины которых находятся по одну сторону от хорды AC, равны. Значит, ∠APC = 2β.
Лучи PB и PC противоположны, поэтому ∠APB = 180° − 2β. Кроме того, ∠ABP = ∠ABC = β.
По сумме углов треугольника ABP получаем ∠BAP = β. Против равных углов лежат равные стороны, следовательно, AP = BP.
Ответ: AP = BP, что и требовалось доказать.
б) По теореме синусов в треугольнике ABC: BC/AC = sin(2β)/sin β = 2cos β. Обозначим BC = x; тогда x = 8cos β.
По теореме косинусов для стороны AC: AC² = AB² + BC² − 2·AB·BC·cos β.
Подставляя данные и cos β = x/8, получаем 16 = 49 + x² − 14x·x/8 = 49 − 3x²/4.
Отсюда x² = 44. Поскольку длина стороны положительна, x = 2√11.
Ответ: 2√11.