В равнобедренном остроугольном треугольнике проведены
высоты и к боковым сторонам и Отрезки и перпендикуляры к прямым и соответственно. Отрезки и пересекаются в точке
а) Докажите, что прямые и параллельны.
б) Найдите длину отрезка если и
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 3 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Доказательство.
Применим метод координат. Положим A(0; 0), B(s; 0), C(t; h), где s = AB = BC, h > 0. Из остроугольности следует 0 < t < s.
Равенство BC = s даёт (s − t)² + h² = s², то есть t² + h² = 2st.
Найдём координаты H. Поскольку H лежит на BC, запишем H = (s + λ(t − s); λh). Условие AH ⟂ BC даёт s(t − s) + λ((t − s)² + h²) = 0, поэтому λ = (s − t)/s.
Следовательно, H(t(2s − t)/s; h(s − t)/s). Обозначим его абсциссу через m = t(2s − t)/s. Тогда M(m; 0).
Поскольку K лежит на AC, имеем K(μt; μh). Из HK ⟂ AC следует μ(t² + h²) = t · m + h²(s − t)/s = h².
Таким образом, μ = h²/(2st), поэтому K(m/2; h³/(2st)); здесь использовано h² = t(2s − t).
Прямая CT перпендикулярна AB и имеет уравнение x = t. На прямой MK ордината точки с абсциссой t равна y = (h³/(st)) · (m − t)/m.
Подставляя m − t = t(s − t)/s и h² = t(2s − t), получаем y = h(s − t)/s.
Значит, E(t; h(s − t)/s). Ординаты E и H совпадают, поэтому EH ∥ AB. При этом m > t > m/2, так что E действительно лежит на отрезке MK.
Ответ: утверждение доказано.
б) Расчёт.
Из найденных координат M и E по теореме Пифагора:
ME² = (m − t)² + h²(s − t)²/s² = ((s − t)²/s²)(t² + h²).
Следовательно, ME = AC · (s − t)/s, поскольку s − t > 0.
При s = 17 и AC = 16 равенство AC² = t² + h² = 2st даёт t = 16²/(2 · 17) = 128/17.
Тогда ME = 16 · (17 − 128/17)/17 = 16 · 161/289 = 2576/289.
Ответ: 2576/289.