Дана трапеция с основаниями и . Диагональ разбивает её на два равнобедренных треугольника с основаниями и .
а) Докажите, что луч биссектриса угла .
б) Найдите , если известны диагонали трапеции: и .
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 3 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Доказательство.
В равнобедренном треугольнике ABD с основанием AD имеем AB = BD. В равнобедренном треугольнике BCD с основанием CD имеем BC = BD. Следовательно, AB = BC.
Треугольник ABC равнобедренный, поэтому ∠BAC = ∠ACB. Поскольку AD ∥ BC, накрест лежащие углы ACB и CAD равны.
Значит, ∠BAC = ∠CAD, то есть луч AC — биссектриса угла BAD.
Ответ: утверждение доказано.
б) Расчёт.
Положим BD = BC = s = 8,5, AD = a. Введём координаты A(0; 0), D(a; 0), расположив трапецию выше оси абсцисс.
Поскольку AB = BD, вершина B лежит на серединном перпендикуляре к AD: B(a/2; h). Из BC ∥ AD и BC = s получаем C(a/2 + s; h).
По теореме Пифагора a²/4 + h² = s².
Тогда AC² = (a/2 + s)² + h² = 2s² + as, а CD² = (a/2 − s)² + h² = 2s² − as.
Складывая равенства, получаем AC² + CD² = 4s².
Следовательно, CD² = 4 · 8,5² − 15² = 289 − 225 = 64, откуда CD = 8.
Ответ: 8.