В остроугольном треугольнике высоты и пересекаются
в точке . Через точку параллельно высоте проведена прямая, пересекающая высоту в точке
а) Докажите, что
б) Найдите отношение площадей треугольников и если
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 3 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Доказательство.
Точки C₁, H, C лежат на одной высоте, поэтому C₁H ⟂ AB. Кроме того, HK ⟂ BC и C₁K ∥ BB₁, откуда C₁K ⟂ AC.
Уточним расположение K. В треугольнике ABH точка C₁ лежит внутри стороны AB, а прямая C₁K параллельна BH. Поэтому K лежит внутри AH.
В остроугольном треугольнике H лежит между C и C₁. Следовательно, угол C₁HK острый и равен углу ABC как угол между прямыми, соответственно перпендикулярными AB и BC.
Аналогично угол HC₁K равен углу BAC: его стороны соответственно перпендикулярны AB и AC, причём оба угла острые.
Значит, треугольники C₁HK и ABC подобны по двум углам с соответствием C₁ ↔ A, H ↔ B, K ↔ C. Поэтому KH/BC = C₁H/AB.
Ответ: AB · KH = BC · C₁H, что и требовалось доказать.
б) Вычисление отношения площадей.
Положим AC₁ = x, CC₁ = h. Тогда BC₁ = 6 − x. По теореме Пифагора x² + h² = 25 и (6 − x)² + h² = 16.
Вычитая второе равенство из первого, получаем 12x − 36 = 9, откуда x = 15/4. Затем h² = 25 − 225/16 = 175/16, поэтому h = 5√7/4.
Прямоугольные треугольники AC₁H и CC₁B подобны по двум углам: угол C₁AH равен углу C₁CB, поскольку их стороны соответственно перпендикулярны. Отсюда C₁H/BC₁ = AC₁/CC₁.
Следовательно, C₁H = (9/4) · (15/4)/(5√7/4) = 27/(4√7).
По доказанному подобию коэффициент подобия треугольника C₁HK треугольнику ABC равен C₁H/AB = 9/(8√7). Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
Таким образом, S(C₁HK)/S(ABC) = (9/(8√7))² = 81/448.
Ответ: 81/448.