Задание 18 ЕГЭ по профильной математике № M27-44

а) Пусть $\angle BAC=\angle BCA=\alpha$. Тогда $\angle ABC=180°-2\alpha$, а из прямоугольного треугольника $BHC$: $\angle BCH=2\alpha -90°$.

Окружность вписана в угол $BCH$, поэтому $CO$ — его биссектриса: $\angle BCO=\alpha -45°$, $\angle ACO=\alpha -(\alpha -45°)=45°$.

$HO$ — биссектриса прямого угла $BHC$, $\angle CHO=45°$, $\angle AHO=135°$. Так как $\angle AHO+\angle ACO=180°$, около четырёхугольника $AHOC$ можно описать окружность, и $\angle OAC=\angle OHC=45°$.

б) Из той же окружности $\angle AOC=\angle AHC=90°$. Пусть $M$ — середина $AC$; медиана к гипотенузе: $OM=\frac{1}{2}AC=3$.

$BM$ — медиана, высота и биссектриса равнобедренного треугольника $ABC$; центр $O$ окружности, вписанной в треугольник $CBH$, лежит на биссектрисе угла $B$, то есть на $BM$. $BM=BO+OM=4$.

$BC=\sqrt{B{M}^2+M{C}^2}=\sqrt{16+9}=5$.

Ответ: б) 5.