Задание 18 ЕГЭ по профильной математике № M27-45

а) Касательные из одной точки равны: $NA=NB$, треугольник $ANB$ равнобедренный, поэтому биссектриса $NO$ перпендикулярна $AB$.

Угол $BAC$ опирается на диаметр $BC$, значит, он прямой: $AC\perp AB$. Прямые $AC$ и $NO$ перпендикулярны одной прямой $AB$, поэтому параллельны.

б) Пусть $M$ — точка пересечения $AB$ и $NO$. $M$ — середина $AB$, $O$ — середина $BC$, $MO$ — средняя линия треугольника $ABC$: $MB=12$, $MO=\frac{AC}{2}=5$.

$OB=\sqrt{O{M}^2+M{B}^2}=\sqrt{25+144}=13$.

Прямоугольные треугольники $MOB$ и $BON$ подобны (общий угол при $O$), поэтому $\frac{ON}{OB}=\frac{OB}{OM}$, $ON=\frac{O{B}^2}{OM}=\frac{169}{5}.$

Ответ: б) $\frac{169}{5}$.