В равнобедренном остроугольном треугольнике проведены
высоты и к боковым сторонам и . Отрезки и перпендикуляры к прямым и соответственно. Отрезки и пересекаются в точке
а) Докажите, что
б) Найдите длину отрезка если и
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 3 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Доказательство.
Применим метод координат. Пусть A(0; 0), B(s; 0), C(u; v), где s = AB = BC, v > 0.
Из AC² = u² + v² и BC² = (s − u)² + v² = s² получаем u² + v² = 2su. Обозначим AC = c.
Поскольку треугольник остроугольный, 0 < u < s. Основание высоты CT имеет координаты T(u; 0).
Запишем H = B + t(C − B). Условие AH ⟂ BC даёт s(u − s) + ts² = 0, поэтому t = 1 − u/s.
Следовательно, H(2u − u²/s; v(1 − u/s)), M(2u − u²/s; 0).
Поскольку K — проекция H на AC, имеем K = λ(u; v), где λ = (u · xH + v · yH)/c² = 1 − u/(2s).
Таким образом, вектор MK имеет координаты (1 − u/(2s))(−u; v), а MK = c(1 − u/(2s)).
Прямая CT задаётся уравнением x = u. При движении от M к K её достигают на доле r = (1 − u/s)/(1 − u/(2s)) длины MK.
Так как 0 < r < 1, точка E лежит внутри MK и ME = r · MK = c(1 − u/s).
Вектор TH имеет координаты (1 − u/s)(u; v), поэтому TH = c(1 − u/s) = ME.
Ответ: TH = ME, что и требовалось доказать.
б) Вычисление EK.
По доказанным формулам и расположению E между M и K:
EK = MK − ME = c(1 − u/(2s)) − c(1 − u/s) = cu/(2s).
Из c² = 2su следует u = c²/(2s), поэтому EK = c³/(4s²).
Подставляя c = 10 и s = 13, получаем EK = 1000/(4 · 169) = 250/169.
Ответ: 250/169.