На стороне равностороннего треугольника отмечена точка Серединный перпендикуляр к отрезку пересекает стороны и
в точках и соответственно.
а) Докажите, что
б) Найдите отношение площадей треугольников и если
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 3 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Обозначим ∠EBM = α. Поскольку треугольник ABC равносторонний, ∠MBK = 60° − α.
Точки E и K лежат на серединном перпендикуляре к BM, поэтому EB = EM и KB = KM.
В равнобедренном треугольнике BEM углы при основании BM равны α, значит ∠BEM = 180° − 2α. Лучи EA и EB противоположны, поэтому ∠AEM = 2α.
В равнобедренном треугольнике BKM углы при основании BM равны 60° − α. Следовательно, ∠BKM = 180° − 2(60° − α) = 60° + 2α.
Лучи KC и KB противоположны, поэтому ∠CKM = 120° − 2α. В треугольнике CMK угол при C равен 60°, откуда ∠CMK = 180° − 60° − (120° − 2α) = 2α.
Ответ: ∠AEM = ∠CMK, что и требовалось доказать.
б) Пусть сторона ABC равна a. Тогда AM = a/5, CM = 4a/5. Обозначим CK = x; тогда BK = a − x и KM = a − x.
По теореме косинусов в треугольнике CMK, учитывая ∠MCK = 60°, получаем: (a − x)² = (4a/5)² + x² − 2 · (4a/5) · x · 1/2.
После раскрытия скобок: a² − 2ax = 16a²/25 − 4ax/5, откуда 9a²/25 = 6ax/5 и x = 3a/10.
Треугольники AEM и CMK подобны по двум углам: ∠EAM = ∠MCK = 60°, а ∠AEM = ∠CMK по пункту а). Соответствующие стороны AM и CK лежат напротив равных углов.
Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: S(AEM)/S(CMK) = (AM/CK)² = ((a/5)/(3a/10))² = 4/9.
Ответ: 4/9.