Диагонали равнобедренной трапеции с основаниями и перпендикулярны. Окружность с диаметром пересекает боковую сторону в точке , а окружность с диаметром пересекает основание в точке . Отрезки и пересекаются в точке .
а) Докажите, что в четырёхугольник можно вписать окружность.
б) Найдите радиус этой окружности, если , .
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 3 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) По теореме об угле, опирающемся на диаметр, AM ⟂ CD и CN ⟂ AD.
Обозначим AD = a, BC = b, высоту трапеции — h. Поскольку N лежит на основании AD и является проекцией C, имеем a > b.
Введём координаты: A(0; 0), D(a; 0), B(d; h), C(s; h), где d = (a − b)/2, s = (a + b)/2.
Пусть диагонали пересекаются в точке K. В равнобедренной трапеции диагонали симметричны относительно оси трапеции; из их перпендикулярности следует, что каждая составляет с основанием угол 45°. Поэтому h = s.
Прямая CD имеет направляющий вектор (−d; s), поэтому перпендикулярная ей прямая AM задаётся уравнением y = dx/s. Прямая CN имеет уравнение x = s.
Следовательно, P(s; d). Получаем AB = AP = √(s² + d²), BC = CP = s − d = b.
Точки B(d; s) и P(s; d) симметричны относительно AC, то есть прямой y = x. Четырёхугольник ABCP выпуклый и симметричный относительно AC.
Пусть I — точка пересечения внутренних биссектрис углов BAC и ABC, причём под биссектрисой угла при A здесь понимается прямая AC, делящая угол BAP пополам. Иначе говоря, I — пересечение AC с биссектрисой угла ABC; эта точка лежит внутри треугольника ABC.
Поскольку AC — биссектриса угла BAP, расстояния от I до AB и AP равны. По свойству биссектрисы угла ABC расстояния от I до AB и BC равны. Симметрия относительно AC даёт равенство расстояний до BC и CP.
Таким образом, внутренняя точка I равноудалена от всех четырёх сторон выпуклого четырёхугольника. Окружность с центром I и радиусом, равным этому расстоянию, вписана в ABCP.
Ответ а): в четырёхугольник ABCP можно вписать окружность.
б) При a = 17 и b = 7 получаем s = 12, d = 5, AB = √(12² + 5²) = 13.
Поскольку I лежит на AC, запишем I(t; t). Расстояние от I до BC, имеющей уравнение y = 12, равно r = 12 − t.
Прямая AB имеет уравнение 12x − 5y = 0. По формуле расстояния от точки до прямой r = (12t − 5t)/13 = 7t/13.
Следовательно, 12 − t = 7t/13, откуда t = 39/5 и r = 12 − 39/5 = 21/5.
Ответ б): 21/5.