Задание 18 ЕГЭ по профильной математике № B45F0C

а) Обозначим AD = a, BC = b. Поскольку CN ⟂ AD и N лежит на отрезке AD, получаем a ≥ b. Равенство невозможно: тогда CD ⟂ AD и прямая CD касается окружности с диаметром AD в точке D, поэтому второй точки пересечения M нет. Следовательно, a > b.

Положим s = (a + b)/2, d = (a − b)/2. Выберем координаты A(0; 0), D(s + d; 0), B(d; h), C(s; h). Здесь 0 < d < s.

Векторы диагоналей AC и BD имеют координаты (s; h) и (s; −h). По условию их перпендикулярности s² − h² = 0, откуда h = s.

Угол AMD прямой как вписанный, опирающийся на диаметр. Поэтому AM ⟂ CD. Поскольку CD имеет направляющий вектор (d; −s), уравнение AM имеет вид y = dx/s.

Аналогично угол CND прямой, поэтому CN задаётся уравнением x = s. Следовательно, P(s; d).

По формуле расстояния AB = AP = √(s² + d²), а BC = CP = s − d. Значит, треугольники ABC и APC равны по трём сторонам; точки B и P симметричны относительно AC.

Возьмём точку I пересечения AC с биссектрисой угла ABC. Она лежит внутри треугольника ABC. По свойству биссектрисы расстояния от I до AB и BC равны. Симметрия относительно AC показывает, что расстояния от I до AP и CP также равны им.

Четырёхугольник ABCP выпуклый, а I находится внутри него. Поэтому окружность с центром I и радиусом, равным расстоянию до его сторон, касается всех четырёх сторон и является вписанной.

Ответ а): в четырёхугольник ABCP можно вписать окружность.

б) При a = 23 и b = 7 получаем s = 15, d = 8. Тогда AB = AP = √(15² + 8²) = 17, BC = CP = 7.

Площади треугольников ABC и APC равны: S = 7 · 15/2 + 7 · 15/2 = 105. Полупериметр четырёхугольника p = (17 + 7 + 7 + 17)/2 = 24.

Соединяя центр вписанной окружности с вершинами, разбиваем четырёхугольник на четыре треугольника с высотой r. Поэтому S = pr, откуда r = 105/24 = 35/8.

Ответ б): 35/8.